1. A Fundamentação: Limites e Aproximação Sequencial
Passamos da abstração teórica de limites para a realidade computacional em que um processador não pode se aproximar de zero; ele só pode se aproximar de um epsilon da máquina.
Uma função $f$ definida em um conjunto $X$ tem o limite $L$ em $x_0$, escrito $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, se, dado qualquer número real $\varepsilon > 0$, existe um $\delta > 0$ tal que $|f(x) - L| < \varepsilon$, sempre que $x \in X$ e $0 < |x - x_0| < \delta$.
Uma sequência $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ tem o limite $x$ se, para qualquer $\epsilon > 0$, existe um inteiro positivo $N(\epsilon)$ tal que $|x_n - x| < \epsilon$ sempre que $n > N(\epsilon)$. Isso justifica nossos algoritmos iterativos.
2. Continuidade e Diferenciabilidade: Requisitos de Segurança
No software numérico, Continuidade (Definição 1.2) e Diferenciabilidade (Definição 1.5) não são apenas propriedades acadêmicas; são "requisitos de segurança" para a estabilidade numérica. Teorema 1.6 demonstra que, se uma função é diferenciável em $x_0$, então ela é contínua em $x_0$, garantindo que pequenos erros de medição não resultem em saltos catastróficos na saída.